Question

10．已知橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的上、下兩個焦點分別為F，F(xiàn)′．G是橢圓上任意一點，已知橢圓的上頂點為A．下頂點為A′．左頂點為B．右頂點為B′．若點M為AB的中點．則|GM|+|GF′|的最大值（　　）

• A． 6+$\sqrt{3}$
• B． 6-$\sqrt{3}$
• C． 6+$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$
• D． 6-$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，由橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=3，b=1，c=2$\sqrt{2}$．利用|GM|+|GF′|=|GM|+2a-|GF|≤6+|MF|即可得出．

解答 解：如圖所示，
由橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=3，b=1，c=2$\sqrt{2}$．
∴A（0，3），B（-1，0），F(xiàn)（0，2$\sqrt{2}$）．
∴M$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，|MF|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}-2\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$．
∴|GM|+|GF′|=|GM|+2a-|GF|≤6+|MF|=6+$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、三角形三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．