【題目】對于無窮數(shù)列,,若-…,則稱是的“收縮數(shù)列”.其中,,分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無窮數(shù)列,其前項和為,數(shù)列是的“收縮數(shù)列”.
(1)若,求的前項和;
(2)證明:的“收縮數(shù)列”仍是;
(3)若,求所有滿足該條件的.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數(shù)列為
【解析】
(1)由可得為遞增數(shù)列,,,從而易得;
(2)利用,
,可證是不減數(shù)列(即),而,由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.
(3)首先,由已知,當時,;當時,,;當時,(*),這里分析與的大小關系,,均出現(xiàn)矛盾,,結(jié)合(*)式可得,因此猜想(),用反證法證明此結(jié)論成立,證明時假設是首次不符合的項,則,這樣題設條件變?yōu)?/span>(*),仿照討論的情況討論,可證明.
解:(1)由可得為遞增數(shù)列,
所以,
故的前項和為.
(2)因為,
,
所以
所以.
又因為,所以,
所以的“收縮數(shù)列”仍是.
(3)由可得
當時,;
當時,,即,所以;
當時,,即(*),
若,則,所以由(*)可得,與矛盾;
若,則,所以由(*)可得,
所以與同號,這與矛盾;
若,則,由(*)可得.
猜想:滿足的數(shù)列是:
.
經(jīng)驗證,左式,
右式.
下面證明其它數(shù)列都不滿足(3)的題設條件.
法1:由上述時的情況可知,時,是成立的.
假設是首次不符合的項,則,
由題設條件可得(*),
若,則由(*)式化簡可得與矛盾;
若,則,所以由(*)可得
所以與同號,這與矛盾;
所以,則,所以由(*)化簡可得.
這與假設矛盾.
所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設條件.
法2:當時,,
所以
即
由可得
又,所以可得,
所以,
即
所以等號成立的條件是
,
所以,所有滿足該條件的數(shù)列為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的函數(shù),如果存在常數(shù),對區(qū)間的任意劃分:,和式恒成立,則稱為上的“絕對差有界函數(shù)”。注:。
(1)證明函數(shù)在上是“絕對差有界函數(shù)”。
(2)證明函數(shù)不是上的“絕對差有界函數(shù)”。
(3)記集合存在常數(shù),對任意的,有成立,證明集合中的任意函數(shù)為“絕對差有界函數(shù)”,并判斷是否在集合中,如果在,請證明并求的最小值;如果不在,請說明理由。
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【題目】某甲籃球隊的12名隊員(含2名外援)中有5名主力隊員(含一名外援),主教練要從12名隊員中選5人首發(fā)上場,則主力隊員不少于4人,且有一名外援上場的概率是_____.
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【題目】已知二次函數(shù)和函數(shù),
(1)若為偶函數(shù),試判斷的奇偶性;
(2)若方程有兩個不等的實根,則
①試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有單調(diào)性,并說明理由;
②若方程的兩實根為求使成立的的取值范圍.
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【題目】如圖,在一條景觀道的一端有一個半徑為米的圓形摩天輪O,逆時針分鐘轉(zhuǎn)一圈,從處進入摩天輪的座艙,垂直于地面,在距離處米處設置了一個望遠鏡.
(1)同學甲打算獨自乘坐摩天輪,但是其母親不放心,于是約定在登上摩天輪座艙分鐘后,在座艙內(nèi)向其母親揮手致意,而其母親則在望遠鏡中仔細觀看.問望遠鏡的仰角應調(diào)整為多少度?(精確到1度)
(2)在同學甲向其母親揮手致意的同時,同一座艙的另一名乘客乙在拍攝地面上的一條綠化帶,發(fā)現(xiàn)取景的視角恰為,求綠化帶的長度(精確到1米)
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【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)當時,函數(shù)的值域是,求實數(shù)與的值
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【題目】第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至2019年10月27日在中國武漢舉行,第七屆世界軍人運動會是我國第一次承辦的綜合性國際軍事體育賽事,也是繼北京奧運會之后我國舉辦的規(guī)模最大的國際體育盛會.來自109個國家的9300余名軍體健兒在江城武漢同場競技、增進友誼.運動會共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項、329個小項.經(jīng)過激烈角逐,獎牌榜的前6名如下:
某大學德語系同學利用分層抽樣的方式從德國獲獎選手中抽取了9名獲獎代表.
(1)請問這9名獲獎代表中獲金牌、銀牌、銅牌的人數(shù)分別是多少人?
(2)從這9人中隨機抽取3人,記這3人中銀牌選手的人數(shù)為,求的分布列和期望;
(3)從這9人中隨機抽取3人,求已知這3人中有獲金牌運動員的前提下,這3人中恰好有1人為獲銅牌運動員的概率.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分別為,AC,,的中點,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交.
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【題目】某市在爭創(chuàng)文明城市過程中,為調(diào)查市民對文明出行機動車禮讓行人的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:
支持 | 不支持 | 合計 | |
年齡不大于45歲 | 80 | ||
年齡大于45歲 | 10 | ||
合計 | 70 | 100 |
(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為不同年齡段與是否支持文明出行機動車禮讓行人有關?
(3)已知在被調(diào)查的年齡小于25歲的支持者有5人,其中2人是教師,現(xiàn)從這5人中隨機抽取3人,求至多抽到1位教師的概率.
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