Question

1．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把這個長方體截成兩個幾何體：幾何體（1）；幾何體（2）

（ I）設(shè)幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V₁、V₂，求V₁與V₂的比值
（ II）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

Answer 1

分析 （ I）根據(jù)空間幾何體的形狀結(jié)合棱錐和棱柱的體積公式即可求幾何體（1）、幾何體（2）的體積以及求V₁與V₂的比值．
（ II）求出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求出二面角的大小．

解答 解（ I）設(shè)BC=a，則AB=2a，BB₁=a，所以${V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}=2a×a×a=2{a^3}$---------（2分）
因為${V_2}=\frac{1}{3}{S_{△CQR}}×PC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×a×a=\frac{1}{3}{a^3}$--------------------------（4分）
${V_1}={V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}-{V_2}=2{a^3}-\frac{1}{3}{a^3}=\frac{5}{3}{a^3}$----------------------（5分）
所以$\frac{V_1}{V_2}=\frac{{\frac{5}{3}{a^3}}}{{\frac{1}{3}{a^3}}}=5$------------（6分）
（ II）由點C作CH⊥QR于點H，連結(jié)PH，因為PC⊥面CQR，QR?面CQR，所以PC⊥QR
因為PC∩CH=C，所以QR⊥面PCH，又因為PH?面PCH，
所以QR⊥PH，所以∠PHC是二面角P-QR-C的平面角--------------------（9分）
而$CH•QR=CQ•CR，CH×\sqrt{5}a=a×2a，CH=\frac{2a}{{\sqrt{5}}}$
所以$tan∠PHC=\frac{a}{{\frac{2a}{{\sqrt{5}}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$------------------------------（12分）

點評 本題主要考查空間幾何體的體積的計算以及空間二面角的求解，要求熟練掌握空間幾何體的體積的計算公式以及二面角平面角的求解，考查學(xué)生的推理能力．