Question

7．已知正△ABC邊長(zhǎng)為1，P在內(nèi)部（不含邊界）任意點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），則在坐標(biāo)系中點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由條阿金利用平面向量基本定理及其幾何意義，求得x、y滿足的條件，可得所求的面積．

解答 解：∵正△ABC邊長(zhǎng)為1，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，x+y=1，
而已知P是三角形ABC內(nèi)部任一點(diǎn)，∴x+y＜1，且x＞0，y＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{x+y＜1}\end{array}\right.$，滿足上述約束條件的點(diǎn)M（x，y）的可行域?yàn)橐粋�(gè)三角形OMN的內(nèi)部，
頂點(diǎn)O（0，0）、M（1，0）、N（0，1）．
故坐標(biāo)系中點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為$\frac{1}{2}$•OM•ON=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，判斷 x+y＜1，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．