Question

13．經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{1}{2}$），漸近線與圓（x-3）²+y²=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． x²-8y²=1
• B． 2x²-4y²=1
• C． 8y²-x²=1
• D． 4x²-2y²=1

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的漸近線方程為mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用漸近線與圓（x-3）²+y²=1相切，可得漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)（1，$\frac{1}{2}$），即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)雙曲線的漸近線方程為mx±ny=0（m＞0，n＞0）
∵漸近線與圓（x-3）²+y²=1相切，
∴$\frac{|3m|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=1，
∴n=2$\sqrt{2}$m，∴漸近線方程為x±2$\sqrt{2}$y=0
∴雙曲線方程設(shè)為x²-8y²=λ，
代入點(diǎn)（1，$\frac{1}{2}$），可得λ=1-2=-1，
∴雙曲線方程為8y²-x²=1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)與方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定漸近線方程是關(guān)鍵．