Question

16．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，對角線AC，BD相交于點O，將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3$\sqrt{2}$．求證：
（1）OM∥平面ABD；
（2）平面ABC⊥平面MDO．

Answer 1

分析 （1）證明OM∥AB．利用直線與平面平行的判定定理證明OM∥平面ABD．
（2）利用勾股定理證明OD⊥OM，證明OD⊥AC，然后證明OD⊥平面ABC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABC⊥平面MDO．

解答 證明：（1）由題意知，O為AC的中點，∵M為BC的中點，∴OM∥AB．，------------------------（2分）．又∵OM?平面ABD，BC?平面ABD．
∴OM∥平面ABD，------------------------（6分）
（2）由題意可知：OM=OD=3，DM=$3\sqrt{2}$，∴OM²+OD²=DM²．
∴∠DOM=90°，即OD⊥OM，------------------------（8分）
又∵四邊形ABCD是菱形，∴OD⊥AC，
∵OM∩AC=O，AC?平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，------------------------（10分）
∵OD?平面ADO，
∴平面ABC⊥平面MDO，------------------------（12分）

點評 本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力邏輯推理能力．