Question

11．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 把遞推關(guān)系式化簡得出a_n+1$+\frac{1}{2}$=3（a_n$+\frac{1}{2}$），即$\frac{{a}_{n+1}+\frac{1}{2}}{{a}_{n}+\frac{1}{2}}$=3=常數(shù)．構(gòu)造等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列求解a_n$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$×3^n-2=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$，即可得出a_n．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1$+\frac{1}{2}$=3（a_n$+\frac{1}{2}$），
即$\frac{{a}_{n+1}+\frac{1}{2}}{{a}_{n}+\frac{1}{2}}$=3=常數(shù)．
∴數(shù)列{a_n$+\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比為3，
∴a_n$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$×3^n-2=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$$-\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題