Question

6．函數f（x）=lnx-x-a有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 令g（x）=lnx，h（x）=x+a，將零點問題轉化為交點問題，分別畫出圖象，先求出直線y=x+a，與曲線y=lnx相切時a的值，即而到到圖象有兩個交點時a的范圍．

解答 解：函數f（x）=lnx-x-a有兩個不同的零點，
∴f（x）=lnx-x-a=0有兩個不同的根，
∴l(xiāng)nx=x+a，
令g（x）=lnx，h（x）=x+a，
在同一坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖，
當直線y=x+a，與曲線y=lnx相切時，設切點為（x₀，x₀+a），
∴k=1=g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$
∴x₀=1，
∴g（x₀）=0=1+a，
∴a=-1，
故當a＜-1函數g（x），h（x）的圖象有兩個不同的交點，
實數a的取值范圍為（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點評 本題考察了函數的零點問題，滲透了轉化思想，關鍵是求出直線和曲線相切時參數的值，考查數形結合思想，屬于中檔題．