Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}是公差d不為0的等差數(shù)列，a₁=2，S_n為其前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)a₃=6時(shí)，若a₁，a₃，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$…，a${\;}_{{n}_{k}}$成等比數(shù)列（其中3＜n₁＜n₂＜…＜n_k），求n_k的表達(dá)式；
（2）是否存在合適的公差d，使得{a_n}的任意前3n項(xiàng)中，前n項(xiàng)的和與后n項(xiàng)的和的比值等于定常數(shù)？求出d，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{3}-{a}_{1}}{3-1}$，可得：a_n=2n．另一方面，a₁，a₃，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$…，a${\;}_{{n}_{k}}$成等比數(shù)列（其中3＜n₁＜n₂＜…＜n_k），可得q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）等差數(shù)列{a_n}中，S_n=$\fraccmy6gyi{2}$n²+$（2-\frac2ago4im{2}）$•n，可得S_3n-S_2n，令S_3n-S_2n=λS_n，解出即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{3}-{a}_{1}}{3-1}$=$\frac{6-2}{3-1}$=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
另一方面，a₁，a₃，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$…，a${\;}_{{n}_{k}}$成等比數(shù)列（其中3＜n₁＜n₂＜…＜n_k），
∴q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=3．
∴${a}_{{n}_{k}}$═a₁•3^k+2-1=2•n_k，
∴n_k=3^k+1．
（2）等差數(shù)列{a_n}中，S_n=na₁+$\frac{n}{2}（n-1）d$=$\fraceioqiqo{2}$n²+$（2-\fracku64a2m{2}）$•n，
S_3n-S_2n=$[\fracm6gkqmq{2}（3n）^{2}+（2-\fracu00aiy4{2}）•3n]$-$[\fracq2uoqkq{2}（2n）^{2}+（2-\fraccqwgocm{2}）•2n]$=$\frac{5d}{2}$•n²+$（2-\fraco06q4ek{2}）•n$，
令S_3n-S_2n=λS_n，則$\frac{5d}{2}$•n²+$（2-\frac2a4aiqy{2}）•n$=λ[$\fracigkw22m{2}$n²+$（2-\fracuaueg4g{2}）$•n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5d}{2}=λ•\fracmi4aa4q{2}}\\{2-\fracaoieg8i{2}=λ（2-\fracqoyegci{2}）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=4}\\{λ=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{λ=1}\end{array}\right.$（舍去）．
∴d=4，滿足題意，且定 常數(shù)為5．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．