Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x²-4）（x-a），a∈R，且f′（-1）=0．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．再利用f′（-1）=0，即可解得a．然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解和判斷即可．
（2）由（1）可得：f（x）=x³-$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+2$．x∈[-2，2]．令f′（x）=0，解得x=-1，$\frac{4}{3}$．列出表格，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值，即可得出最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），
∴f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．
∵f′（-1）=0，∴3+2a-4=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$；
則$f（x）=（{x}^{2}-4）（x-\frac{1}{2}）$=x³-$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+2$．x∈[-2，2]．
f′（x）=3x²-x-4=（3x-4）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1，$\frac{4}{3}$．
由f′（x）＞0得x＞$\frac{4}{3}$或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-1＜x＜$\frac{4}{3}$．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[$\frac{4}{3}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，$\frac{4}{3}$]．
（2）當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）與f′（x）的變化如圖下表：

x	[-2，-1）	-1	$（-1，\frac{4}{3}）$	$\frac{4}{3}$	$（\frac{4}{3}，2]$
f′（x）	+	0	-	0
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=$\frac{9}{2}$；
當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，$f（\frac{4}{3}）$=$-\frac{50}{27}$；
又f（-2）=0，f（2）=0．
可知：函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{9}{2}$，最小值為$-\frac{50}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性，極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．