Question

10．高安中學(xué)學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），3 個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回．
（1）設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）在第一次訓(xùn)練時(shí)至少取到一個(gè)新球的條件下，求第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列為Eξ．
（2）設(shè)“從6個(gè)球面鏡中任意取出2個(gè)球，恰好取到一個(gè)新球”為事件B，則“第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球”，就是事件A₁B+A₂B，而事件A₁B、A₂B互斥，由條件概率能求出第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率．

解答 解：（1）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，
設(shè)“第一次訓(xùn)練時(shí)取到i個(gè)新球（即ξ=i）“為事件A_i，
∵集訓(xùn)前共有6個(gè)共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球，3 個(gè)是舊球，
∴P（A₀）=P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（A₁）=P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（A₂）=P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．
（2）設(shè)“從6個(gè)球面鏡中任意取出2個(gè)球，恰好取到一個(gè)新球”為事件B，
則“第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球”，就是事件A₁B+A₂B，而事件A₁B、A₂B互斥，
∴P（A₁B+A₂B）=P（A₁B）+P（A₂B），
由條件概率得：
P（A₁B）=P（A₁）P（B|A₁）=$\frac{3}{5}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}×\frac{8}{15}$=$\frac{8}{25}$，
P（A₂B）=P（A₂）P（B|A₂）=$\frac{1}{5}×\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率：
P（A₁B+A₂B）=$\frac{8}{25}+\frac{1}{15}$=$\frac{29}{75}$．

點(diǎn)評(píng) 本試題主要是考查了古典概型概率的求解，以及隨機(jī)變量的分布列的求解和條件概率的計(jì)算的綜合運(yùn)用．