Question

4．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若AB=2，則球O的表面積為16π．

Answer 1

分析 取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．

解答 解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，
△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．
∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，
BE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BG=$\sqrt{3}$，
R=$\sqrt{3+1}$=2．
四面體ABCD外接球的表面積為：4πR²=16π．
故答案為：16π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵．