Question

12．已知m∈R，直線l：mx-（m²+1）y=4m和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直線l的斜率的取值范圍；
（2）直線l能否將圓C分割成弦長的比值為1：2的兩段圓弧？若能，求出直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）寫出直線的斜率利用判別式求最值；
（2）直線與圓相交，注意半徑、弦心距、弦長的一半構成的直角三角形，確定圓C截直線l所得的弦所對的圓心角小于$\frac{2π}{3}$，即可得出結論．

解答 解：（1）直線l的方程可化為y=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$x-$\frac{4m}{{m}^{2}+1}$，斜率k=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$，
即km²-m+k=0，k=0時，m=0成立；
又∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）不能．由（1）知l的方程為y=k（x-4），其中|k|≤$\frac{1}{2}$；
圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2；圓心C到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
由|k|≤$\frac{1}{2}$，得d≥$\frac{4}{\sqrt{5}}$＞1，即d＞$\frac{r}{2}$，
從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦所對的圓心角小于$\frac{2π}{3}$，
所以l不能將圓C分割成弧長的比值為1：2的兩段�。�

點評 本題考查直線與圓及不等式知識的綜合應用，考查點到直線的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．