Question

9．已知直線l的方程為y=kx-1，圓的方程為x²+y²-2x+4y+4=0．若直線l與圓相交截得的弦長為$\sqrt{3}$，求直線l的斜率k．

Answer 1

分析 由半徑的平方等于圓心到直線的距離平方與弦長一半的平方的和求出圓心到直線的距離，再建立方程求解．

解答 解：圓的方程為x²+y²-2x+4y+4=0，可化為（x-1）²+（y+2）²=1，圓心坐標為（1，-2），半徑為1．
∵直線l與圓相交截得的弦長為$\sqrt{3}$，
∴圓心到直線的距離為d=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$，
故直線方程為y=$\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$x-1．

點評 本題主要考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，在相交時半徑的平方等于圓心到直線的距離平方與弦長一半的平方的和的靈活運用．