Question

15．如圖，四棱錐E-ABCD中，平面ABE⊥平面ABCD，側(cè)面ABE是等腰直角三角形，EA⊥EB，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求三棱錐C-BDE的體積；
（3）若點F是線段EA上一點，當(dāng)EC∥平面FBD時，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，連結(jié)EO，DO．推出EO⊥AB．AB⊥BC，證明AB⊥平面EOD．即可證明AB⊥ED．
（2）利用體積轉(zhuǎn)化V_C-BDE=V_E-CBD求解即可．
（3）連接AC、BD交于點，推出EC∥FM．通過△DMC與△BMA相似，然后求解EF即可．

解答 解：（1）證明：取AB中點O，連結(jié)EO，DO．
因為EB=EA，所以EO⊥AB．

因為四邊形ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四邊形OBCD為正方形，所以AB⊥OD．
所以AB⊥平面EOD．     
所以 AB⊥ED．
（2）由EO⊥AB，面ABE⊥面ABCD，易得EO⊥ABCD，
所以，${V_{C-BDE}}={V_{E-CBD}}=\frac{1}{3}×（2×1×1）×1=\frac{1}{6}$．
（3）解：連接AC、BD交于點M，面ACE∩面FBD=FM．
因為EC∥平面FBD，所以EC∥FM．
在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，

所以，$EF=\frac{1}{3}EA=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，平面與直線垂直判定定理以及性質(zhì)定理定義域，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．