Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=2，BC=BB₁=1，D是棱A₁B₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱錐B-ACD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面ABB₁A₁，即可證明：BC⊥AD；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合三棱錐的體積公式即可求三棱錐B-ACD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BB₁⊥BC，
∵BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∵AD?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AD．
（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC是三棱錐C-ABD的高，
則V_B-ACD=V_C-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•BC=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$AB•BB₁•BC=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{1}{3}$，
即${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線(xiàn)的垂直判斷以及三棱錐的體積的計(jì)算，利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．