Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x+k）e^x（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=0處的切線與直線x+y=0平行，求k的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+k）e^x=（x²+k-2）e^x，從而可得f′（0）=（0²+k-2）e⁰=-1；從而求k；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x²+k-2）e^x知，以k-2≥0或k-2＜0進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，分k≥2，-2＜k＜2，k≤-2進(jìn)行討論，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-2x+k）e^x（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+k）e^x
=（x²+k-2）e^x，
又∵曲線y=f（x）在x=0處的切線與直線x+y=0平行，
∴f′（0）=（0²+k-2）e⁰=-1；
故k=1；
（Ⅱ）∵f′（x）=（x²+k-2）e^x，
∴①當(dāng)k-2≥0時(shí)，f′（x）≥0，
故f（x）在定義域R上是增函數(shù)；
②當(dāng)k-2＜0時(shí)，x∈（-$\sqrt{2-k}$，$\sqrt{2-k}$）時(shí)，f′（x）＜0，
x∈（-∞，-$\sqrt{2-k}$）∪（$\sqrt{2-k}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{2-k}$）上是增函數(shù)，在（-$\sqrt{2-k}$，$\sqrt{2-k}$）上是減函數(shù)，
在（$\sqrt{2-k}$，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)k≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=f（0）=k；
當(dāng)0＜$\sqrt{2-k}$＜2，即-2＜k＜2時(shí)，
函數(shù)f（x）在[0，$\sqrt{2-k}$）上是減函數(shù)，在（$\sqrt{2-k}$，2]上是增函數(shù)；
故f（x）_min=f（$\sqrt{2-k}$）=（2-2$\sqrt{2-k}$）${e}^{\sqrt{2-k}}$；
當(dāng)$\sqrt{2-k}$≥2，即k≤-2時(shí)，
函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
故f（x）_min=f（2）=k•e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．