Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0）．將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）定義：當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí)，函數(shù)圖象上對應(yīng)的點(diǎn)稱為函數(shù)的最值點(diǎn)，如果函數(shù)y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$的圖象上至少有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)在圓x²+y²=k²（k＞0）的內(nèi)部或圓周上，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的周期為π可得ω=2，再由對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0）可得φ值，由函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式可得；
（2）由三角函數(shù)的知識可得F（x）與原點(diǎn)距離最近的最大值和最小值點(diǎn)分別是點(diǎn)$（\frac{k}{2}，\sqrt{3}）$和$（-\frac{k}{2}，-\sqrt{3}）$，由題意結(jié)合圖象可得${（\frac{k}{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}≤{k^2}$，解不等式可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω＞0，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又∵曲線y=f（x）的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得$φ=\frac{π}{2}$，∴f（x）=cos2x，
將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，
由誘導(dǎo)公式化簡可得g（x）=sinx；
（2）∵函數(shù)y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$在$\frac{πx}{k}=nπ+\frac{π}{2}（n∈Z）$時(shí)取得最大值或最小值，
當(dāng)$x=nk+\frac{k}{2}$，即與原點(diǎn)距離最近的最大值和最小值點(diǎn)分別是點(diǎn)$（\frac{k}{2}，\sqrt{3}）$和$（-\frac{k}{2}，-\sqrt{3}）$，
于是有${（\frac{k}{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}≤{k^2}$，解不等式可得k≥2．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)圖象變換，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化已知問題是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．