Question

3．如圖，圓O為四邊形ABCD的外接圓，過B、D兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)E，AE交圓O于點(diǎn)C．
（1）證明：AB•CD=BC•AD；
（2）延長DC交BE于F，若EF=FB，證明：AD∥BE．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的相似，結(jié)合切線長相等，即可證明：AB•CD=BC•AD；
（2）利用切割線定理，結(jié)合BF=EF，證明出△EFC∽△DFE，進(jìn)而證明∠EFC=∠DAC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵過B、D兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)E，
∴EB=ED，∠EBC=∠EAB，∠EDC=∠EAD
∵∠BEA=∠CEB，∠CED=∠DEA，
∴△EBC∽△EAB，△EDC∽△EAD，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{EA}{EB}$，$\frac{AD}{CD}=\frac{EA}{ED}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
∴AB•CD=BC•AD；
（2）∵BF²=FC•FD，BF=EF，
∴EF²=FC•FD，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{FD}{EF}$，
∵∠EFC=∠DFE，
∴△EFC∽△DFE，
∴∠FEC=∠FDE，
∵∠FDE=∠EAD，
∴∠EFC=∠DAC，
∴AD∥BE．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的證明與性質(zhì)的運(yùn)用，證明三角形相似是關(guān)鍵．