Question

15．如圖，設(shè)A，B分比為橢圓E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓E上不同于A，B的一動點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線l是橢圓E的右準(zhǔn)線，若直線AP與直線：x=a和l分別相較于C，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)Q與直線BC交于M．
（1）求BM：MC的值；
（2）若橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線PM方程為x+2$\sqrt{3}$y-8=0，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的準(zhǔn)線l的方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．設(shè)直線AP的斜率為k（k≠0），可得直線AP的方程為：y=k（x+a），可得C，Q的坐標(biāo)．于是k_FQ=$\frac{ka}{a-c}$，
可得直線FQ的方程為：$y=\frac{ka}{a-c}（x-c）$，可得M，即可得出$\frac{BM}{MC}$=1．
（2）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓的方程化為：x²+4y²=a²．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+a）}\\{x+2\sqrt{3}y-8=0}\\{a+2\sqrt{3}ka-8=0}\end{array}\right.$，解得x，y（用a表示），代入橢圓方程即可得出．

解答 解：（1）橢圓E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的準(zhǔn)線l的方程為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．
設(shè)直線AP的斜率為k（k≠0），可得直線AP的方程為：y=k（x+a），∴C（a，2ka），Q$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{k（{a}^{2}+ac）}{c}）$．
∴k_FQ=$\frac{\frac{k（{a}^{2}+ac）}{c}-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-c}$=$\frac{ka}{a-c}$，
可得直線FQ的方程為：$y=\frac{ka}{a-c}（x-c）$，∴M（a，ka）．
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{ka}{2ka-ka}$=1．
（2）∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴${a}^{2}=\frac{4}{3}{c}^{2}={c}^{2}+^{2}$，∴b²=$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
∴橢圓的方程化為：x²+4y²=a²．（*）
把點(diǎn)M代入直線PM的方程為：a+2$\sqrt{3}$ka-8=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+a）}\\{x+2\sqrt{3}y-8=0}\\{a+2\sqrt{3}ka-8=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{{a}^{2}}{8}$，y=$\frac{64-{a}^{2}}{16\sqrt{3}}$．
代入（*）可得：$（\frac{{a}^{2}}{8}）^{2}$+$4×（\frac{64-{a}^{2}}{16\sqrt{3}}）^{2}$=a²．
解得a²=64或16．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=64}\\{^{2}=16}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=16}\\{^{2}=4}\end{array}\right.$．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，或$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線與直線相交問題、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．