Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（a，b為常數(shù)），且f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由代入法，可得a，b的方程，解方程組，可得a，b；
（2）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的最值．

解答 解：（1）f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，
可得a+b=$\frac{5}{2}$，2a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{17}{4}$，
解得a=2，b=$\frac{1}{2}$；
（2）函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$，即為f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，
f′（x）=2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]上f′（x）＜0，f（x）遞減；
在（$\frac{1}{2}$，2）上f′（x）＞0，f（x）遞增．
則x=$\frac{1}{2}$處，f（x）取得最小值，且為2；
x=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=$\frac{5}{2}$；x=2時(shí)，f（2）=$\frac{17}{4}$，
即有f（x）的最大值為$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．