Question

19．已知函數(shù)y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數(shù)取得最小值時自變量x的值；
（2）當-$\frac{5}{6}$π≤x≤$\frac{5}{6}$π時．求函數(shù)的值域；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）用“五點法”作出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；
（5）請逐一寫出由函數(shù)y=sinx的圖象得到y(tǒng)=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的圖象的變換過程．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)取得最小值時自變量x的值．
（2）由-$\frac{5}{6}$π≤x≤$\frac{5}{6}$π．可求$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)的值域；
（3）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（4）列表，描點，連線，用五點法即可作函數(shù)f（x）在一個周期上的簡圖．
（5）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，再把各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），再把各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），即得函數(shù)y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的圖象．

解答 解：（1）由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：x∈{x|x=4kπ-$\frac{3π}{2}$，k∈Z}時，函數(shù)取得最小值為-2．
（2）∵-$\frac{5}{6}$π≤x≤$\frac{5}{6}$π．
∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．可得：y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）函數(shù)的值域為：[-1，2]．
（3）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
（4）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$
y	0	2	0	-2	0

作圖：

（5）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，再把各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），
再把各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），即得函數(shù)y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的圖象．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，屬于基本知識的考查．