Question

15．已知圓C：x²+y²+2x-4y+m=0與y軸相切．
（1）求m的值；
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求該切線的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓引切線，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用圓C：x²+y²+2x-4y+m=0與y軸相切，求出m的值；
（2）求出圓心與半徑，再分類討論，設(shè)出切線方程，利用直線是切線建立方程，即可得出結(jié)論；
（3）先確定P的軌跡方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答 解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+m=0，可化為（x+1）²+（y-2）²=5-m，所以5-m=1，
所以m=4；
（2）當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，切線方程為x=0．
當(dāng)切線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，則$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=1，所以a=1±$\sqrt{2}$，即切線方程為x+y-1±$\sqrt{2}$=0．
綜上知，切線方程為x=0或x+y+1=0或x+y-1±$\sqrt{2}$=0；
（2）因?yàn)閨PO|²+r²=|PC|²，所以x²+y²+1=（x+1）²+（y-2）²，即x-y+2=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
當(dāng)直線PO垂直于直線x-y+2=0時(shí)，即直線PO的方程為x+y=0時(shí)，|PM|最小，
此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn)，得P點(diǎn)坐標(biāo)（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．