Question

8．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0$）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁，A₂是橢圓E的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)（A₂位于A₁右側(cè)），B是橢圓在y軸正半軸上的頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是x軸上位于A₂右側(cè)的一點(diǎn)，且$\frac{1}{|FM|}$是$\frac{1}{|{A}_{1}M|}$與$\frac{1}{|{A}_{2}M|}$的等差中項(xiàng)，|FM|=1．
（1）求橢圓E的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$）且斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P和Q，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{{A}_{2}B}$共線？若存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)F（c，0），M（x，0），x＞a，由已知得$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x-a}$=$\frac{2}{x-c}$，從而x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，再由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，能求出橢圓方程和M點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由題意，直線l的方程為y=kx+$\sqrt{2}$，聯(lián)立橢圓方程，得（$\frac{1}{2}$+k²）x²+2$\sqrt{2}$kx+1，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出不存在符合題意的直線l．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)F（c，0），M（x，0），x＞a，
由$\frac{1}{|FM|}$是$\frac{1}{|{A}_{1}M|}$與$\frac{1}{|{A}_{2}M|}$的等差中項(xiàng)，得$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x-a}$=$\frac{2}{x-c}$，
解得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，M點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0）．
（2）由題意，直線l的方程為y=kx+$\sqrt{2}$，
聯(lián)立橢圓方程，得（$\frac{1}{2}$+k²）x²+2$\sqrt{2}$kx+1，
∵直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q，
∴△=4k²-2＞0，∴k²＞$\frac{1}{2}$，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=$\frac{2\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$（-2k，1），
由題知$\overrightarrow{{A}_{2}B}$=（-$\sqrt{2}$，1），
要使向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{{A}_{2}B}$共線，
則2k=$\sqrt{2}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，但不滿足k²＞$\frac{1}{2}$，
故不存在符合題意的直線l．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓E的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．