Question

5．（1）已知0＜x＜2，求函數(shù)y=x（8-3x）的最大值；
（2）已知x＞1，求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）變形函數(shù)y=x（8-3x）=$\frac{1}{3}×3x（8-3x）$，利用基本不等式的性質即可得出；
（2）變形函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$=$\frac{1}{2}\frac{（x-1）^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{2}[（x-1）+\frac{1}{x-1}]$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵0＜x＜2，∴函數(shù)y=x（8-3x）=$\frac{1}{3}×3x（8-3x）$≤$\frac{1}{3}（\frac{3x+8-3x}{2}）^{2}$=$\frac{16}{3}$，
當且僅當x=$\frac{4}{3}$時取等號．∴函數(shù)y=x（8-3x）的最大值為$\frac{16}{3}$．
（2）∵x＞1，∴函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$=$\frac{1}{2}\frac{（x-1）^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{2}[（x-1）+\frac{1}{x-1}]$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{（x-1）×\frac{1}{x-1}}$=1，
當且僅當x=2時取等號．
∴函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$的最小值為1．

點評 本題考查了基本不等式的性質、變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．