Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{x}$）⁴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，則a₃•a₇=36．

Answer 1

分析 由條件利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，可得等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)，再根據(jù)a₃•a₇=${{a}_{5}}^{2}$ 求得結(jié)果．

解答 解：二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{x}$）⁴展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{4}^{r}$•x^4-2r，
令4-2r=0，求得r=2，可得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{4}^{2}$=6，即a₅=6．
根據(jù){a_n}為等比數(shù)列，可得a₃•a₇=${{a}_{5}}^{2}$=36，
故答案為：36．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．