Question

16．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，D為AB的中點，沿中線將△ACD折起使得AB=$\sqrt{13}$，則二面角A-CD-B的大小為（　　）

• A． 60°
• B． 90°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 先用三余弦公式得cos∠A'EA•cos∠AEF=cosA'EF，再分別求cos∠AEF，cos∠A'EF，進而求出二面角的平面角．

解答 解：依題意，△ACD為正三角形，取CD的中點E，
連接AE并延長交BC于G，連接BE并延長交AC于F，
則二面角A-CD-B的平面角即為∠A'EG（圖二），
且∠A'EA與∠A'EG互補，根據三余弦公式：
cos∠A'EA•cos∠AEF=cos∠A'EF，-----------①
圖一中：根據題中條件得
AE=$\sqrt{3}$，AF=$\frac{4}{3}$，EF=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，EB=$\sqrt{7}$，
圖二中：A'B=$\sqrt{13}$，
在△A'EB中，運用余弦定理得，cos∠A'EB=-$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
在△AEF中，運用余弦定理得，cos∠AEF=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，②
所以，cos∠A'EF=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，-------------------③
將②③代入①得，
cos∠A'EA•$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，解得cos∠A'EA=$\frac{1}{2}$，
所以，∠A'EA=60°，即∠A'EG=120°，
因此，二面角A-CD-B的平面角為120°．
故答案為：C．

點評 本題主要考查了二面角平面角的做法及求解，以及運用梅涅勞斯定理和余弦定理解三角形，運用三余弦公式求二面角的平面角，屬于難題．