Question

3．已知兩點(diǎn)F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），滿足條件|PF₁|-|PF₂|=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線l：y=kx-1與曲線E交于不同兩點(diǎn)A、B：
（Ⅰ）求k的取值范圍；   
（Ⅱ）若|AB|=2$\sqrt{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線的定義可知，求出a，b，求出曲線E的方程x²-y²=1（ x＞0）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$，消去y，利用直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，列出不等式組，求出k的取值范圍．
（Ⅱ）利用第一問(wèn)，通過(guò)弦長(zhǎng)公式求出k的值，然后求出直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線 E 是以F₁（$-\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且c=$\sqrt{2}$，a=1，易知b=1．故曲線 E 的方程為 x ²-y ²=1（ x＞0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，則
$\left\{\begin{array}{l}1-{k}^{2}≠0\\△=（2k）^{2}+8（1-{k}^{2}）＞0\\{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2k}{1-{k}^{2}}＞0\\{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{-2}{1-{k}^{2}}＞0\end{array}\right.$，
解得1$＜k＜\sqrt{2}$
 即k的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）．…（6分）
（Ⅱ）∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-2k}{1-{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{-2}{1-{k}^{2}}}$=$2\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（1-{k}^{2}）^{2}}}$
依題意得，$2\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{{（1-{k}^{2}）}^{2}}}=2\sqrt{5}$
整理后得6k⁴-11k²+3=0，解得k²=$\frac{1}{3}$或$\frac{3}{2}$
又1$＜k＜\sqrt{2}$，∴k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{6}}{2}x-1$ …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，范圍問(wèn)題的求解方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．