Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{1-a}{x}$（a∈R），g（x）=x-1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）是否存在a∈（3，+∞），對任意x₁$∈[\frac{1}{e}，1]$，總存在x₂$∈[\frac{1}{e}，1]$，使得g（x₁）=f（x₂）成立．若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，利用函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，得到a-1=2，從而求得實數(shù)a的值；
（Ⅱ）把對任意x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，總存在x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立轉化為函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域為g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域的子集，利用f（x）、g（x）的單調性求其值域，然后利用兩個函數(shù)值域端點值間的關系列不等式組求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x-alnx+$\frac{1-a}{x}$，（x＞0），
得f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax+a-1}{{x}^{2}}$，
由x²-ax+a-1=0，得x₁=1，x₂=a-1，
∵函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，∴a-1=2，即a=3；
（Ⅱ）假設存在a∈（3，+∞），對任意x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，總存在x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立．
則函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域為g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域的子集，
由（Ⅰ）知，f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上為增函數(shù)，
∴f（x）∈[$\frac{1}{e}$+a+e-ae，2-a]，
又g（x）=x-1在[$\frac{1}{e}$，1]上為增函數(shù)，
∴g（x）∈[$\frac{1}{e}$-1，0]，
則 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}+a+e-ae≤2-a}\\{\frac{1}{e}-1≤\frac{1}{e}+a+e-ae}\\{2-a≤0}\end{array}\right.$，解得：2≤a≤$\frac{e+1}{e-1}$．
而$\frac{e+1}{e-1}$＜3，
∴不存在a∈（3，+∞），對任意x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，總存在x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查數(shù)學轉化思想方法，正確理解題意是解答（Ⅱ）的關鍵，是壓軸題．