Question

9．設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則$\frac{{x}^{2}}{x+2}$+$\frac{{y}^{2}}{y+1}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{4}{15}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 令x+2=m，y+1=n，整體換元，再應(yīng)用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：令x+2=m，y+1=n，則x=m-2，y=n-1，
∵x，y均為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，
∴m＞2且n＞1，（m-2）+（n-1）=1，即m+n=4；
換元可得$\frac{{x}^{2}}{x+2}$+$\frac{{y}^{2}}{y+1}$=$\frac{{（m-2）}^{2}}{m}$+$\frac{{（n-1）}^{2}}{n}$
=$\frac{{m}^{2}-4m+4}{m}$+$\frac{{n}^{2}-2n+1}{n}$
=m+$\frac{4}{m}$-4+n+$\frac{1}{n}$-2
=（m+n）+$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$-6
=$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$-2
=$\frac{m+n}{m}$+$\frac{m+n}{4n}$-2
=（1+$\frac{n}{m}$）+（$\frac{m}{4n}$+$\frac{1}{4}$）-2
=$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{4n}$-$\frac{3}{4}$≥2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{4n}}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{m}{4n}$，即m=$\frac{8}{3}$，n=$\frac{4}{3}$時(shí)取等號，
此時(shí)x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$；
對應(yīng)$\frac{{x}^{2}}{x+2}$+$\frac{{y}^{2}}{y+1}$取得最小值$\frac{1}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，整體換元是解題的關(guān)鍵，是中檔題．