Question

13．在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，BC=CD=1，AD=2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，則$|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$的取值范圍是[5，$\sqrt{34}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0≤b≤1），求出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，即可求得，利用完全平方式非負(fù)，即可求得其最值．

解答 解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0）
設(shè)P（0，b）（0≤b≤1）
則$\overrightarrow{PA}$=（2，-b），$\overrightarrow{PB}$=（1，1-b），
∴$\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}$=（5，3-4b）
∴則$|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$=$\sqrt{25+（3-4b）^{2}}$≥5，$|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$=$\sqrt{25+（3-4b）^{2}}$≤$\sqrt{34}$，
故答案為：$[5，\sqrt{34}]$．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量模的求法，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力