Question

18．已知平面向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，-1），\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{t^2}-3）\overrightarrow b，\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+t\overrightarrow b，且\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$．
（1）試求函數(shù)關系式k=f（t）；
（2）求函數(shù)f（t）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標便可求得${\overrightarrow{a}}^{2}=4，{\overrightarrow}^{2}=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，根據(jù)$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$便有$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=-4k+t（{t}^{2}-3）=0$，這樣解出k即可得出函數(shù)關系式k=f（t）；
（2）求f′（t），而由題意知t≠0，從而根據(jù)導數(shù)符號即可寫出函數(shù)f（t）的單調區(qū)間．

解答 解：（1）${\overrightarrow{a}}^{2}=4，{\overrightarrow}^{2}=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
又$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$；
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=[\overrightarrow{a}+（{t}^{2}-3）\overrightarrow]•（-k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）$=$-k{\overrightarrow{a}}^{2}-k（{t}^{2}-3）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$+t（{t}^{2}-3）{\overrightarrow}^{2}$=-4k+t（t²-3）=0；
∴$k=\frac{1}{4}{t}^{3}-\frac{3}{4}t$；
即k=f（t）=$\frac{1}{4}{t}^{3}-\frac{3}{4}t$；
（2）f′（t）=$\frac{3}{4}{t}^{2}-\frac{3}{4}$；
∵k，t不同時為0，∴t≠0；
∴t∈（-∞，-1），（1，+∞）時，f′（t）＞0，t∈（-1，0），（0，1）時，f′（t）＜0；
∴f（t）的單調增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調減區(qū)間為（-1，0），（0，1）．

點評 考查向量數(shù)量積的坐標運算，兩向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算，以及根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號求函數(shù)單調區(qū)間的方法．