Question

2．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C滿足2B=A+C，則$cos（\frac{π}{3}-A）+cosC$的取值范圍為（0，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由題意可得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．利用兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)$cos（\frac{π}{3}-A）+cosC$ 為$\sqrt{3}$sinA，再根據(jù)A∈（0，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得 $\sqrt{3}$sinA 的范圍．

解答 解：由于△ABC的三內(nèi)角A，B，C滿足2B=A+C，則B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
則$cos（\frac{π}{3}-A）+cosC$=cos（$\frac{π}{3}$-A）-cos（$\frac{π}{3}$+A）=cos$\frac{π}{3}$cosA+sin$\frac{π}{3}$sinA-[cos$\frac{π}{3}$cosA-sin$\frac{π}{3}$sinA]=2sin$\frac{π}{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinA，
再根據(jù)A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得sinA∈（0，1]，∴$\sqrt{3}$sinA∈（0，$\sqrt{3}$]，
故答案為：（0，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．