Question

18．如果數(shù)列{a_n}中，相鄰兩項(xiàng)a_n和a_n+1是二次方程x_n²+2nx_n+c_n=0（n=1，2，3…）的兩個(gè)根，當(dāng)a₁=2時(shí)，則c₁₀₀的值為（　�。�

• A． -9984
• B． 9984
• C． 9996
• D． -9996

Answer 1

分析 a_n和a_n+1是二次方程x_n²+2nx_n+c_n=0（n=1，2，3…）的兩個(gè)根，可得a_n+a_n+1=-2n，a_n+2-a_n=-2，因此數(shù)列{a_2k-1}與{a_2k}都是公差為-2的等差數(shù)列，可得a_2n=-2n-2，a_2n-1，即可得出c₁₀₀=a₁₀₀•a₁₀₁．

解答 解：∵a_n和a_n+1是二次方程x_n²+2nx_n+c_n=0（n=1，2，3…）的兩個(gè)根，
∴a_n+a_n+1=-2n，
則（a_n+1+a_n+2）-（a_n+a_n+1）=-2，
∴a_n+2-a_n=-2，
∴數(shù)列{a_2k-1}與{a_2k}都是公差為-2的等差數(shù)列，
由a₁=2，a₁+a₂=-2，解得a₂=-4，
則a_2n=-4-2（n-1）=-2n-2，a_2n-1=2-2（n-1）=-2n+4，
∴a₁₀₀=-2×50-2=-102，a₁₀₁=-2×51+4=-98，
∴c₁₀₀=a₁₀₀•a₁₀₁=-102×（-98）=9996．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．