Question

1．已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且b_n=1-2S_n，又?jǐn)?shù)列{a_n}、{b_n}滿足點(diǎn){a_n，3$_{n}^{2}$}在函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）^x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n+$\frac{1}{_{n}}$，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，利用b_n=1-2S_n與b_n-1=1-2S_n-1作差，整理得b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列；通過將點(diǎn){a_n，3$_{n}^{2}$}代入函數(shù)解析式y(tǒng)=（$\frac{1}{3}$）^x中，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+3ⁿ，通過記數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為P_n，數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Q_n，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知P_n=1-（n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知Q_n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$，相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=1-2S_n，b_n-1=1-2S_n-1，
兩式相減得：b_n-b_n-1=-2b_n，即b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，
又∵b₁=1-2S₁，即b₁=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
∵點(diǎn){a_n，3$_{n}^{2}$}在函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）^x的圖象上，
∴3${_{n}}^{2}$=$\frac{1}{{3}^{{a}_{n}}}$，即$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{{a}_{n}}}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n+$\frac{1}{_{n}}$=（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+3ⁿ，
記數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為P_n，數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Q_n，
∵P_n=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$P_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$P_n=$\frac{1}{3}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2（n+1）}{{3}^{n+1}}$，
∴P_n=1-（n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
又∵Q_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$，
∴T_n=P_n+Q_n
=1-（n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$
=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{2（n+1）}{{3}^{n}}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，考查分組法求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．