Question

11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M是左側(cè)面ADD₁A₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BM}$=1，則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$與$\overrightarrow{BM}$的夾角的最大值為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 先建立空間坐標(biāo)系，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，
∵M(jìn)是左側(cè)面ADD₁A₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)M（x，0，z），其中（0≤x≤1，0≤z≤1），
∴B（1，1，0），$\overrightarrow{{C}_{1}}$=（0，1，1），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BM}$=（x-1，-1，z），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{BM}$=1-x+z=1，即x=z，
|$\overrightarrow{B{C}_{1}}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BM}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+1+{z}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+2}$，
設(shè)$\overrightarrow{B{C}_{1}}$與$\overrightarrow{BM}$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2{x}^{2}-2x+2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-x+1}}$，
設(shè)f（x）=x²-x+1，
∴f（x）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
∴f（0）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$≤f（x）≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴θ=60°，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角的余弦值，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力；向量法求異面直線所成的角的余弦值，是求異面直線所成角的常用方法之一，要熟練掌握．