Question

15．設(shè)A、B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不同于A、B），作AQ⊥PA，PB⊥BQ，求直線AQ與BQ的交點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，運(yùn)用直線垂直的條件和直線的點(diǎn)斜式方程，可得AQ，BQ的方程，再由消去參數(shù)m，n，相乘即可得到所求Q的軌跡方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的a=2，b=1，
由題意可得A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，即有n²=$\frac{4-{m}^{2}}{4}$，①
又AP的斜率為$\frac{n}{m+2}$，可得AQ的斜率為-$\frac{m+2}{n}$，
即有直線AQ的方程為y=-$\frac{m+2}{n}$（x+2），②
又BP的斜率為$\frac{n}{m-2}$，可得BQ的斜率為-$\frac{m-2}{n}$，
即有直線AQ的方程為y=-$\frac{m-2}{n}$（x+2），③
由②×③，y²=$\frac{{m}^{2}-4}{{n}^{2}}$（x²-4），
將①代入上式，可得y²=-4（x²-4），
即有$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故直線AQ與BQ的交點(diǎn)Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立方程組，消去參數(shù)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．