Question

10．解不等式$\sqrt{|1-x|}$＞kx．

Answer 1

分析 根據(jù)題意分類討論即可求出．

解答 解：①當k＜0時，則x＞0，即不等式的解集為{x|x＞0}，
②當k=0時，x≠1，即不等式的解集為{x|x≠1}，
③當k＞0時，則x＜0，即不等式的解集為{x|x＜0}，
④當k＞0，x＞0時，
則|1-x|＞k²x²，
1°當x≥1時，即x-1＞k²x²，即k²x²-x+1＜0，
當△＜0時，即1-4k²＜0時，即k＞$\frac{1}{2}$時，不等式的解集為空集，
當△≥0時，即1-4k²≥0時，即0＜k≤$\frac{1}{2}$時，則$\frac{1-\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，因為$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＞1，
即不等式的解集為{x|1≤x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}，
2°當0＜x＜1時，即1-x＞k²x²，即k²x²+x-1＜0，
△=1+4k²＞0時，則$\frac{-1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜1，即不等式的解集為{x|0＜x＜$\frac{-1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}，
⑤當k＜0，x＜0時，即1-x＞k²x²，即k²x²+x-1＜0，
△=1+4k²＞0時，則$\frac{-1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，即不等式的解集為{x|$\frac{-1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜0}．
⑥當x=0時，不等式對于k取任何數(shù)都成立，
綜上所述，當k＜0時，不等式的解集為{x|x＞$\frac{-1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}．
當k=0時，不等式的解集為{x|x≠1}，
當0＜k≤$\frac{1}{2}$時，不等式的解集為{x|x|1≤x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}，
當k＞$\frac{1}{2}$時，不等式的解集為{x|x=0}．

點評 本題考查了不等式的解法，關鍵是分類討論，屬于中檔題．