Question

4．若實數(shù)x，y滿足x+y-xy≥2，則|x-y|的最小值是2．

Answer 1

分析 化簡可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{y≥\frac{2-x}{1-x}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y≤\frac{2-x}{1-x}}\end{array}\right.$，從而作平面區(qū)域，再分類討論，化|x-y|的最小值為點到直線的距離的最小值，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可．

解答 解：∵x+y-xy≥2，
∴y（1-x）≥2-x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{y≥\frac{2-x}{1-x}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y≤\frac{2-x}{1-x}}\end{array}\right.$，
作平面區(qū)域如下，
，
設(shè)|x-y|=a，
①當(dāng)x≤y時，y-x=a，
原點到直線y-x=a的距離$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
故相切時有最小值；
y′=$\frac{1}{（1-x）^{2}}$=1，
故x=0或x=2（舍去）；
故a=|x-y|≥|0-2|=2，
①當(dāng)x≥y時，y-x=-a，
原點到直線y-x=-a的距離$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
故相切時有最小值；
y′=$\frac{1}{（1-x）^{2}}$=1，
故x=0（舍去）或x=2；
故a=|x-y|≥|2-0|=2，
綜上所述，|x-y|的最小值是2；
故答案為：2．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．