Question

7．已知關(guān)于x的不等式|x-1|-|x+1|＞|4m-2|的解集不是空集．
（1）求實數(shù)m的取值集合M；
（2）若a∈M，b∈M，設(shè)minA表示數(shù)集A的最小數(shù)，I=min{2$\sqrt{a}$，$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}+^{2}}$，2$\sqrt$}，求證：I≤2．

Answer 1

分析 （1）先求出|x-1|-|x+1|的范圍，根據(jù)不等式|x-1|-|x+1|＞|4m-2|的解集不是空集，得到|4m-2|＜2，求出m的范圍即可；
（2）分別求出I≤2$\sqrt{a}$，I≤$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，I≤2$\sqrt$，得到I³的范圍，從而求出I的范圍即可．

解答 解：（1）∵-2≤|x-1|-|x+1|≤2，
又不等式|x-1|-|x+1|＞|4m-2|的解集不是空集，
∴|4m-2|＜2，解得：0＜m＜1，
∴實數(shù)m的取值集合M={m|0＜m＜1}；
（2）由（1）得：0＜a＜1，0＜b＜1，
又I=min{2$\sqrt{a}$，$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}+^{2}}$，2$\sqrt$}，
∴I≤2$\sqrt{a}$，I≤$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，I≤2$\sqrt$，
∴I³≤2$\sqrt{a}$•$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$•2$\sqrt$=$\frac{16ab}{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\frac{16ab}{2ab}$=8，
∴I≤2．

點評 本題考查了不等式問題，考查絕對值的意義，是一道中檔題．