Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），求：
（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$和|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件可以求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$向量的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，從而可以得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值；
（Ⅱ）根據(jù)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)可以求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow|$的值，從而根據(jù)向量夾角的余弦的計(jì)算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}=（1，0），\overrightarrow{{e}_{2}}=（0，1）$；
∴$\overrightarrow{a}=（3，-3），\overrightarrow=（4，1）$；
（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3×4+（-3）×1=9$；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（7，-2）$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{{7}^{2}+（-2）^{2}}=\sqrt{53}$；
（Ⅱ）$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{3}^{2}+（-3）^{2}}=3\sqrt{2}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{17}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{9}{3\sqrt{2}×\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法、減法，及數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及根據(jù)向量的坐標(biāo)可求向量的長(zhǎng)度，向量夾角余弦的計(jì)算公式．