Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{\sqrt{x}}$．
（1）證明函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的值域．

Answer 1

分析 （1）先把f（x）變成f（x）=$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}$，從而可證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得到f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
（2）容易判斷當(dāng)x趨向正無窮時，f（x）趨向正無窮，從而得出f（x）≥f（2），這樣便可得出f（x）在[2，+∞）上的值域．

解答 解：（1）證明：$f（x）=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$，設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{x}_{1}}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}-\sqrt{{x}_{2}}+\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$
=$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴$\sqrt{{x}_{1}}＞\sqrt{{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}＞0$，$1+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}＞0$；
∴$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∵f（x）=$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$；
∴x趨向+∞時，$\frac{1}{\sqrt{x}}$趨向0，$\sqrt{x}$趨向+∞，∴f（x）趨向+∞；
∴f（x）≥f（2）；
即$f（x）≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴f（x）在[2，+∞）上的值域為$[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域的方法，注意需判斷x趨向“+∞”時，f（x）所趨向的值．