Question

13．[B]已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）計算a₁，a₂，a₃，根據(jù)計算結(jié)果，猜想a_n的表達(dá)式（不必證明）；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=4a_n+（n-4）（n+1），可求得a₁，a₂，a₃的值，從而可猜想{a_n}的一個通項公式．
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立，從而得出命題a_n=2ⁿ+n對任意的正整數(shù)n恒成立．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，2S₁=4a₁-6，解得a₁=3，
當(dāng)n=2時，2（a₁+a₂）=4a₂-6，解得a₂=6，
當(dāng)n=2時，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃-4，解得a₃=11，
由此猜想a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
①當(dāng)n=1時，顯然成立，
②假設(shè)n=k時成立，即a_k=2^k+k，
那么當(dāng)n=k+1時，
∵2a_k+1=2S_k+1-2S_k=[4a_k+1+（k-3）（k+2）]-[4a_k+（k-4）（k+1），
∴a_k+1=2a_k-k+1=2×2^k+2k-k+1=2^k+1+k+1，
所以當(dāng)n=k+1時，猜想成立，
由①②可知，猜想成立，即a_n=2ⁿ+n．（n∈N⁺）．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k∈N^*）時命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．