Question

20．棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的體積比是（　　）

• A． 9：1
• B． 4：1
• C． 27：1
• D． 8：1

Answer 1

分析 畫出圖形，確定兩個球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值，即可求棱長為a的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比．

解答 解：把棱長為a的正四面體鑲嵌在棱長為x的正方體內(nèi)，
∴外接球和內(nèi)切球的球心重合，為正方體的中心O，
∴外接球的球半徑為：$\frac{\sqrt{3{x}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，$\frac{1}{6}$x²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{2}x$）²×h，h=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，
內(nèi)切球的半徑為：$\frac{\sqrt{3}x}{2}$-h=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$$-\frac{\sqrt{3}x}{3}$=$\frac{\sqrt{3}x}{6}$，
∴外接球和內(nèi)切球的半徑之比為：$\frac{\sqrt{3}x}{2}$：$\frac{\sqrt{3}x}{6}$=3：1，
∴正四面體的外球和內(nèi)切球的體積比是27：1，
故選：C．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的關(guān)系，找出兩個球的球心重合，半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力