Question

11．為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2014年進行技術(shù)改革．經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品當年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費用m萬元（m≥0）滿足$x=3-\frac{k}{m+1}$（k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當年的產(chǎn)量只能是1萬件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元（利潤=銷售金額-生產(chǎn)成本-技術(shù)改革費用）表示為技術(shù)改革費用m萬元的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2014年的技術(shù)改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）由題意知當m=0時，x=1；從而可得x=3-$\frac{2}{m+1}$；從而化簡y=（8+16x）（1.5-1）-m即可；
（2）化簡y=28-$\frac{16}{m+1}$-m=29-（$\frac{16}{m+1}$+m+1），從而利用基本不等式求最大點即可．

解答 解：（1）由題意得，當m=0時，x=1；
即1=3-k，故k=2；
故x=3-$\frac{2}{m+1}$；
故y=（8+16x）（1.5-1）-m
=4+8（3-$\frac{2}{m+1}$）-m
=28-$\frac{16}{m+1}$-m（m≥0）；
（2）y=28-$\frac{16}{m+1}$-m
=29-（$\frac{16}{m+1}$+m+1）
≤29-2$\sqrt{\frac{16}{m+1}（m+1）}$=21；
（當且僅當$\frac{16}{m+1}$=m+1，即m=3時，等號成立）；
故該企業(yè)2014年的技術(shù)改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用及基本不等式在求最值的應用，屬于中檔題．