Question

1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=4，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$．
（1）求△ABC的周長；
（2）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和余弦定理求出邊c的值，即可求出△ABC的周長；
（2）根據(jù)內(nèi)角的范圍和平方關(guān)系求出sinC的值，利用正弦定理求出sinB，由邊角的關(guān)系和平方關(guān)系求出cosB，利用兩角差的余弦公式求出cos（B-C）的值．

解答 解：（1）由題意知，a=4，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=16+4-2×$4×2×\frac{1}{4}$=16，
則c=4，
∴△ABC的周長為a+b+c=4+2+4=10；
（2）∵0＜C＜π，cosC=$\frac{1}{4}$，
∴$sinC=\sqrt{1-{cos}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由正弦定理得，$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，則sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{2}{4}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∵b＜c，∴B＜C，由cosC=$\frac{1}{4}$＞0，則B、C都是銳角，
∴$cosB=\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\frac{7}{8}$，
∴cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{7}{8}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$
=$\frac{22}{32}$=$\frac{11}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理，邊角的關(guān)系和平方關(guān)系，以及兩角差的余弦公式，注意內(nèi)角的范圍和三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于中檔題．