Question

當(dāng)x＞1時(shí)，求證：（x+1）lnx＞2x-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=（x+1）lnx-2x+2，求f′（x）=lnx+

1

x

-1，x＞1不能判斷f′（x）的符號(hào)，所以再次求導(dǎo)：令g（x）=f′（x），求g′（x）=

x-1

x2

＞0，所以函數(shù)g（x）當(dāng)x＞1時(shí)是增函數(shù)，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）當(dāng)x＞1時(shí)是增函數(shù)，所以f（x）＞f（1）=0，所以就得到：（x+1）lnx＞2x-2．

解答： 證：令f（x）=（x+1）lnx-2x+2；
f′（x）=lnx+

x+1

x

-2=lnx+

1

x

-1，令g（x）=f′（x），則：
g′（x）=

x-1

x2

，∵x＞1，∴g′（x）＞0；
∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）＞g（1）=0，即f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（1）=0；
∴（x+1）lnx＞2x-2．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及通過(guò)求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的方法．