Question

18．如圖所示，已知正方形ABCD所在平面垂直于矩形ACEF所在的平面，BD與AC的交點(diǎn)為O，M，P分別為AB，EF的中點(diǎn)，AB=2，AF=1．
（1）求證：平面PCD⊥平面PCM；
（2）求三棱錐O-PCM的高．

Answer 1

分析 （1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD和平面PCM的法向量，證明它們的法向量垂直即可；
（2）求出$\overrightarrow{CO}$和平面PCM的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$的夾角θ，則三棱錐O-PCM的高為O到平面PCM的距離h=|OC|•|cosθ|．

解答 證明：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD，CB，CE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則C（0，0，0），D（2，0，0），M（1，2，0），P（1，1，1）．
∴$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（1，1，1），$\overrightarrow{CM}$=（1，2，0）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），平面PCM的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{x+y+z=0}\\{a+b+c=0}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，-1，1），令c=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-2，1，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=0-1+1=0，
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{n}_{2}}$，
∴平面PCD⊥平面PCM．
（2）$\overrightarrow{CO}$=（1，1，0），|$\overrightarrow{CO}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{n}_{2}}$|=$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=-2+1=-1．
∴cos＜$\overrightarrow{CO}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{CO}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴O點(diǎn)到平面PCM的距離h=|$\overrightarrow{CO}$|•|cos＜$\overrightarrow{CO}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，常采用向量法進(jìn)行證明或計(jì)算．