15.已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1($-2\sqrt{2}$,0)、F2($2\sqrt{2}$,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求△OAB的面積.

分析 (1)設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,(a>b>0),由題意可得a,c,求得b,進(jìn)而得到橢圓的方程;
(2)聯(lián)立直線和橢圓方程消去y,可得x的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,結(jié)合三角形的面積公式可得所求面積.

解答 解:(1)設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,(a>b>0),
由題意$a=3,c=2\sqrt{2}$,于是b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1,
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$;
(2)由 $\left\{{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$,得10x2+36x+27=0,
由于該二次方程的△>0,所以點(diǎn)A、B不同.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則${x_1}+{x_2}=\frac{-18}{5}$,${x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$,
方法一、設(shè)點(diǎn)O到直線y=x+2的距離為d,則$d=\frac{|0-0+2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$,
所以|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{(-\frac{18}{5})^{2}-\frac{4×27}{10}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$.
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{6\sqrt{3}}}{5}=\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$;
方法二、設(shè)直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)M(-2,0),
則S△OAB=S△OAM+S△OBM,
由①可知,${y_1}+{y_2}=({x_1}+2)+({x_2}+2)={x_1}+{x_2}+4=\frac{2}{5}$,${y_1}{y_2}=({x_1}+2)({x_2}+2)={x_1}{x_2}+2({x_1}+{x_2})+4=-\frac{1}{2}$,
則${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•2|{y_1}|+\frac{1}{2}•2|{y_2}|=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{({y_1}-{y_2})}^2}}=\sqrt{{{({y_1}+{y_2})}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{{{({\frac{2}{5}})}^2}-4({-\frac{1}{2}})}=\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和a,b,c的關(guān)系,考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用聯(lián)立直線和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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