Question

15．已知橢圓C的焦點分別為F₁（$-2\sqrt{2}$，0）、F₂（$2\sqrt{2}$，0），長軸長為6，設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（a＞b＞0），由題意可得a，c，求得b，進而得到橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，可得x的方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合三角形的面積公式可得所求面積．

解答 解：（1）設橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（a＞b＞0），
由題意$a=3，c=2\sqrt{2}$，于是b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）由 $\left\{{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得10x²+36x+27=0，
由于該二次方程的△＞0，所以點A、B不同．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{-18}{5}$，${x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
方法一、設點O到直線y=x+2的距離為d，則$d=\frac{|0-0+2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{18}{5}）^{2}-\frac{4×27}{10}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{6\sqrt{3}}}{5}=\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$；
方法二、設直線y=x+2與x軸交于點M（-2，0），
則S_△OAB=S_△OAM+S_△OBM，
由①可知，${y_1}+{y_2}=（{x_1}+2）+（{x_2}+2）={x_1}+{x_2}+4=\frac{2}{5}$，${y_1}{y_2}=（{x_1}+2）（{x_2}+2）={x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4=-\frac{1}{2}$，
則${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•2|{y_1}|+\frac{1}{2}•2|{y_2}|=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{{{（{\frac{2}{5}}）}^2}-4（{-\frac{1}{2}}）}=\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)和a，b，c的關系，考查三角形的面積的求法，注意運用聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．