Question

18．設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項之積為T_n，若${T_n}={2^{{n^2}+n}}$，則$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$的最小值為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． $4\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項之積為T_n，${T_n}={2^{{n^2}+n}}$，
∴a₁=T₁=2²=4．
n≥2時，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}+n}}{{2}^{（n-1）^{2}+（n-1）}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
當n=1時上式也成立，
∴a_n=4ⁿ．則$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$=g（n），
考察函數(shù)f（x）=x+$\frac{12}{x}$（x≥2）的單調(diào)性，
f′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{12}）（x-\sqrt{12}）}{{x}^{2}}$，
當2≤x$＜\sqrt{12}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當$\sqrt{12}$＜x，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
又g（2）=2²+$\frac{12}{{2}^{2}}$=7，g（3）=2³+$\frac{12}{{2}^{3}}$=$\frac{19}{2}$＞g（3）．
∴$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$的最小值為7．
故選：A．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．