18.設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項之積為Tn,若${T_n}={2^{{n^2}+n}}$,則$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$的最小值為( 。
A.7B.8C.$4\sqrt{3}$D.$2\sqrt{3}$

分析 利用遞推關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 解:∵各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項之積為Tn,${T_n}={2^{{n^2}+n}}$,
∴a1=T1=22=4.
n≥2時,an=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}+n}}{{2}^{(n-1)^{2}+(n-1)}}$=22n=4n
當n=1時上式也成立,
∴an=4n.則$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$=g(n),
考察函數(shù)f(x)=x+$\frac{12}{x}$(x≥2)的單調(diào)性,
f′(x)=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+\sqrt{12})(x-\sqrt{12})}{{x}^{2}}$,
當2≤x$<\sqrt{12}$時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當$\sqrt{12}$<x,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
又g(2)=22+$\frac{12}{{2}^{2}}$=7,g(3)=23+$\frac{12}{{2}^{3}}$=$\frac{19}{2}$>g(3).
∴$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$的最小值為7.
故選:A.

點評 本題考查了遞推關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)能否有99.9%的把握認為“性別與患色盲有關(guān)系”?
附1:隨機變量K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
附2:臨界值參考表:
P(K2≥k00.100.050.0250.100.0050.001
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